Sobre el buen planteamiento de la ecuación no lineal de Schrondinger en el toro d-dimensional - Canaría Camargo, Luis Carlos (2021)
Spa: En este trabajo estamos interesados en el buen planteamiento en los espacios de Sobolev Hs (T d ) del problema de valor inicial: ivt + ∆v + λu|v| σ−1 v = 0, u − α 2∆u = |v| σ+1 , v(0) = v0, donde ∆ es el operador Laplaciano, α > 0, σ ≥ 1, y λ = ±1. Observe que la ecuación en (1) es una versi´on no lineal de la Ecuación de Schrödinger que modela fen´omenos f´ısicos que ocurren en óptica no lineal y en teoría de fluidos, vea [4] y las referencias contenidas allí. En [4] los autores prueban existencia y unicidad de soluciones en el caso no periódico, sin hacer mención de el caso periódico, así que, nosotros decidimos abordar este problema, pues hasta donde conocemos dicho problema en cuestión no ha sido tratado. Para esto estudiamos la solución del problema lineal, del cual se abordan las propiedades más relevantes, pues es un problema muy conocido, así mismo estudiamos la buena colocación local del problema (1) en Hs (T d ), teniendo en cuenta los casos donde σ es par e impar, con s > d/2, finalmente se análizan las condiciones apropiadas para la buena colocación Global del problema de valor inicial (1), teniendo en cuenta la dimensión d, la no linealidad σ, el signo de λ y el tamaño del dato ϕ que garantiza que esta solución local se extiende globalmente en el tiempo. Palabras claves: Schröndinger, toro, solución, global, local, no lineal.